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Il massimo ritardo modale: l'estratto

Parte 2/4 - Analisi teorica e statistica sul gioco per estratto semplice nel gioco del lotto. Articolo del 1999, aggiornato nel 2011.

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Il gioco più elementare e particolarmente acclamato dai mass-media è proprio quello del numero più ritardato. Spesso, per motivi commerciali si desta una grande enfasi su questo tipo di gioco che però, se sistematicamente, incondizionatamente e lungamente impiegato quasi sicuramente condurrebbe ad un bilancio negativo. Ecco, quindi, che la prudenza alla quale spesso ci appelliamo sarebbe sufficiente per evitare quegli spiacevoli episodi che la cronaca sovente racconta riguardo le “sfortunate” vicende di alcuni giocatori del Lotto.
Basti pensare che un numero è rimasto assente anche per 202 estrazioni e molti altri hanno superato le 170: dati che da tempo non siamo abituati a registrare ma che in futuro, facilmente potremmo aspettarci (Nota: il valore 202 si riferisce al ritardo massimo nel 1999, nel 2006 abbiamo conosciuto il ritardo di 204 estrazioni, c.v.d.).
Uno studio analitico condotto dall’Ing. Samaritani e pubblicato in un suo libro nel 1937, si occupò di individuare matematicamente questo limite mediante alcune geniali intuizioni (per un approfondimento si veda il riquadro 1) che a tutt’oggi sembrano essere più che fondate.
Infatti, egli trovò un limite variabile nel tempo o meglio, dipendente dalla quantità di estrazioni effettuate (detta anche massa estrazionale): più estrazioni ci sono e più aumenta il “limite teorico” così, ad oggi (anno 1999) contiamo un massimo teorico di 220 estrazioni (al tempo dell’Ing. Samaritani era poco più basso e 5 anni dopo si registrò lo storico di 202 estrazioni con l’8 a Roma).
Secondo un’analisi empirica che recentemente abbiamo condotto è stato scoperto che l'indicazione del massimo ritardo presentato dall'Ing. Samaritani è un valore modale e può essere definito come il valore più probabile che si potrebbe ottenere con una massa estrazionale di grandezza finita.

 

Riquadro 1. CALCOLO DEL RITARDO MASSIMO TEORICO DI ATTESA DELL’ESTRATTO

I numeri al Lotto sono soggetti alla distribuzione geometrica del tipo:
Qt=MqR dove Qt è la quantità di estratti che dovrebbero essere presenti a partire dal ritardo R, M è la massa estrazionale (cioè il totale degli estratti), q è la probabilità di non uscita (detta anche di probabilità di sopravvivenza). Samaritani si è posto il quesito di quale sia l’ultimo numero “intero” che obbedisce a questa distribuzione eguagliando la quantità teorica Qt a 1. Quindi:

MqR=1

dunque stabilendo approssimativamente a 6.000, le estrazioni sino ad oggi effettuate, in considerazione che ci sono 10 ruote ed in ognuna di esse si estraggono 5 numeri, la massa M è 6.000x10x5=300.000. La probabilità che esca un numero è di 5 su 90 (1/18), quindi che non esca è q=1-p=1-1/18= q=17/18. R invece, è la nostra incognita ed è calcolabile mediante l’uso dei logaritmi:

R=ln(M)/ln(1/q)=ln(300.000)/ln(18/17)=R=220,6 estrazioni

In ogni caso, la storia del Lotto ha sempre registrato valori più bassi, non dimentichiamo però che il futuro potrebbe riservare sorprese aspettabili e se pensiamo che questo valore è una moda, ovvero un valore medio possiamo anche attenderci dei massimi più alti.



Nota aggiuntiva del 2011: come accennato nell'introduzione aggiorniamo il calcolo del massimo ritardo modale (teorico) dell'estratto. Con 9000 estrazioni si avrà una massa estrazioniale di 9000x11x5=495000 estratti e il calcolo del massimo ritardo modale per l'estratto sarà quindi:

R=ln(M)/ln(1/q)=ln(495.000)/ln(18/17)=229,4 estrazioni